Penjelasan Tambahan
Catatan: postingan ini belum berisi tulisan asli, jadi “Mean” di sini diartikan sebagai mean dalam statistika (rata-rata). Arti lain kata mean dalam bahasa Inggris dibahas singkat di bagian akhir.
Apa itu mean?
Mean (rata-rata) adalah salah satu ukuran pemusatan data (measure of central tendency), yaitu satu angka yang mewakili “pusat” atau nilai khas dari sekumpulan data. Dua ukuran pemusatan lainnya adalah median dan modus.
Yang paling umum dipakai adalah rata-rata aritmetika (arithmetic mean):
mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n
Artinya: jumlahkan semua nilai, lalu bagi dengan banyaknya data.
Contoh: nilai ujian 70, 80, 85, 90, 75
mean = (70 + 80 + 85 + 90 + 75) / 5 = 400 / 5 = 80
Mean populasi vs mean sampel
Dalam statistika, simbolnya dibedakan tergantung datanya berasal dari mana:
| Jenis | Simbol | Dibaca | Keterangan |
|---|---|---|---|
| Mean populasi | μ | “mu” | Rata-rata dari seluruh anggota populasi |
| Mean sampel | x̄ | “x bar” | Rata-rata dari sebagian data (sampel), dipakai untuk menaksir μ |
Karena populasi sering terlalu besar untuk diukur semuanya (misalnya tinggi badan seluruh orang Indonesia), kita mengambil sampel lalu memakai x̄ sebagai perkiraan μ.
Jenis-jenis mean
Selain rata-rata aritmetika, ada beberapa jenis mean lain yang cocok untuk situasi berbeda:
| Jenis | Rumus singkat | Cocok untuk | Contoh |
|---|---|---|---|
| Aritmetika | jumlah ÷ n | Data umum yang dijumlahkan | Rata-rata nilai ujian |
| Tertimbang (weighted) | Σ(wᵢ·xᵢ) ÷ Σwᵢ | Data yang bobotnya berbeda | IPK (nilai × SKS) |
| Geometrik | akar pangkat n dari (x1 × x2 × … × xn) | Laju pertumbuhan, persentase berantai | Rata-rata pertumbuhan investasi per tahun |
| Harmonik | n ÷ (1/x1 + 1/x2 + … + 1/xn) | Rata-rata laju/kecepatan | Kecepatan rata-rata pergi-pulang |
Contoh mean tertimbang (IPK):
| Mata kuliah | Nilai | SKS |
|---|---|---|
| Kalkulus | 4,0 | 3 |
| Fisika | 3,0 | 2 |
| Bahasa | 3,5 | 1 |
IPK = (4,0×3 + 3,0×2 + 3,5×1) / (3 + 2 + 1) = 21,5 / 6 ≈ 3,58
Kalau dihitung dengan rata-rata biasa hasilnya 3,5, padahal Kalkulus yang SKS-nya paling besar mestinya lebih berpengaruh.
Contoh mean geometrik: investasi naik 50% di tahun pertama lalu turun 50% di tahun kedua. Rata-rata aritmetikanya 0%, seolah-olah impas. Padahal uang Rp100 menjadi Rp150 lalu Rp75, alias rugi. Mean geometrik dari faktor 1,5 dan 0,5 adalah √(1,5 × 0,5) ≈ 0,866, artinya rata-rata turun sekitar 13,4% per tahun. Inilah kenapa laju pertumbuhan harus dirata-rata secara geometrik.
Contoh mean harmonik: berangkat 60 km/jam, pulang 40 km/jam dengan jarak yang sama. Kecepatan rata-ratanya bukan 50 km/jam, melainkan
2 / (1/60 + 1/40) = 48 km/jam
karena perjalanan pulang yang lebih lambat memakan waktu lebih lama.
Untuk bilangan positif, selalu berlaku urutan aritmetika ≥ geometrik ≥ harmonik (dikenal sebagai ketaksamaan AM–GM–HM), dan ketiganya sama hanya jika semua datanya bernilai sama.
Mean vs median vs modus
| Ukuran | Definisi | Kelebihan | Kelemahan |
|---|---|---|---|
| Mean | Jumlah ÷ banyak data | Memakai semua data, mudah diolah secara matematis | Sangat terpengaruh nilai ekstrem (outlier) |
| Median | Nilai tengah setelah data diurutkan | Tahan terhadap outlier | Tidak memakai informasi semua nilai |
| Modus | Nilai yang paling sering muncul | Bisa untuk data kategori (misal warna favorit) | Bisa ada lebih dari satu, atau tidak ada sama sekali |
Kelemahan utama mean: outlier
Misalkan ada 5 karyawan dengan gaji (juta rupiah per bulan): 5, 5, 6, 6, 78 (yang terakhir gaji direktur).
- Mean = 100 / 5 = 20 juta
- Median = 6 juta
Mean 20 juta terdengar “rata-rata gajinya besar”, padahal 4 dari 5 orang bergaji jauh di bawah itu. Karena itu, data yang distribusinya miring (skewed), seperti pendapatan, harga rumah, atau kekayaan, biasanya lebih jujur dilaporkan dengan median. Banyak lembaga statistik melaporkan pendapatan rumah tangga dalam bentuk median karena alasan ini.
Pada distribusi yang simetris, seperti distribusi normal (kurva lonceng), mean, median, dan modus bernilai sama. Pada distribusi miring ke kanan (ekor panjang di nilai besar), biasanya mean > median.
Salah satu cara mengurangi pengaruh outlier adalah trimmed mean (rata-rata terpangkas): buang sekian persen data terkecil dan terbesar, baru dirata-rata. Prinsip serupa dipakai pada penilaian beberapa cabang olahraga, misalnya nilai juri tertinggi dan terendah dibuang.
Mean dan nilai harapan (expected value)
Dalam teori peluang, mean dari sebuah variabel acak disebut nilai harapan (expected value, ditulis E[X]). Contohnya, nilai harapan lemparan satu dadu adalah
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5
Angka 3,5 tidak mungkin muncul di dadu, tapi kalau dadu dilempar ribuan kali, rata-rata hasilnya akan makin mendekati 3,5. Fenomena ini dijelaskan oleh Hukum Bilangan Besar (Law of Large Numbers), yang pertama kali dibuktikan oleh Jacob Bernoulli dan terbit dalam Ars Conjectandi (1713).
Mean juga punya sifat khusus: ia adalah titik yang membuat jumlah kuadrat selisih semua data terhadapnya menjadi paling kecil. Sifat inilah yang menjadi dasar metode kuadrat terkecil (least squares) yang dikembangkan Legendre (1805) dan Gauss (1809), dan masih dipakai di regresi linear hingga machine learning modern (misalnya fungsi galat Mean Squared Error).
Asal kata
Kata mean berasal dari bahasa Prancis Kuno meien (“tengah”), dari bahasa Latin medianus, yang juga menjadi akar kata median. Jadi secara bahasa, mean memang berarti “yang berada di tengah”.
Sebagai catatan, kata mean dalam bahasa Inggris punya beberapa arti lain yang tidak berhubungan dengan statistika:
| Kelas kata | Arti | Contoh |
|---|---|---|
| Kata kerja | Bermaksud, berarti | “What do you mean?” |
| Kata sifat | Jahat, kejam, tidak ramah | “Don’t be mean to your sister.” |
| Kata sifat (Inggris Britania) | Pelit | “He’s too mean to buy a round of drinks.” |
| Kata sifat (slang) | Hebat, jago | “She plays a mean guitar.” |
| Kata benda | Rata-rata; jalan tengah | “the golden mean” (jalan tengah ala Aristoteles) |
Ringkasnya
- Mean adalah rata-rata, yaitu jumlah semua nilai dibagi banyaknya data; termasuk ukuran pemusatan bersama median dan modus.
- Simbol μ untuk populasi, x̄ untuk sampel.
- Ada beberapa jenis mean: aritmetika, tertimbang (IPK), geometrik (laju pertumbuhan), dan harmonik (kecepatan rata-rata).
- Mean sensitif terhadap outlier; untuk data miring seperti gaji atau harga rumah, median sering lebih representatif.
- Dalam peluang, mean disebut nilai harapan, dan menurut Hukum Bilangan Besar rata-rata hasil percobaan akan mendekati nilai ini.