Berapa orang yang harus ada di satu ruangan supaya peluang dua di antaranya berulang tahun di tanggal yang sama mencapai 50%? Kebanyakan orang menebak sekitar 180, yaitu setengah dari 365. Jawaban sebenarnya hanya 23 orang. Ini disebut Paradoks Ulang Tahun (Birthday Paradox).
Kenapa disebut paradoks?
Bukan karena ada kontradiksi logika, tapi karena hasilnya bertentangan dengan intuisi. Kita otomatis membayangkan pertanyaan yang salah: “berapa peluang ada orang yang ulang tahunnya sama dengan saya?” Itu memang kecil. Tapi pertanyaan aslinya adalah: “berapa peluang ada sepasang orang mana pun yang tanggalnya sama?”
Hitungannya
Lebih mudah menghitung kebalikannya: peluang tidak ada yang kembar tanggal.
- Orang ke-1: bebas, peluang 365/365
- Orang ke-2: harus beda dari orang pertama, peluang 364/365
- Orang ke-3: harus beda dari dua orang sebelumnya, peluang 363/365
- dan seterusnya
Kalikan semuanya, lalu kurangi dari 1:
P(ada yang sama) = 1 − (365/365 × 364/365 × 363/365 × … )
Hasilnya untuk berbagai jumlah orang:
| Jumlah orang | Peluang ada yang sama |
|---|---|
| 10 | ~12% |
| 23 | ~51% |
| 30 | ~71% |
| 50 | ~97% |
| 70 | ~99,9% |
Dengan 70 orang saja, hampir pasti ada yang kembar tanggal.
Kuncinya: jumlah pasangan
Dalam ruangan berisi 23 orang, bukan cuma ada 23 orang, tapi ada 253 pasangan yang bisa dibandingkan (23 × 22 / 2). Tiap pasangan punya peluang 1/365 untuk cocok. Jumlah pasangan tumbuh kuadratik, jauh lebih cepat dari jumlah orangnya, sehingga peluangnya melonjak cepat.
Kenapa ini penting?
Ide yang sama dipakai di dunia nyata:
- Kriptografi. Birthday attack memanfaatkan fakta bahwa mencari dua input yang menghasilkan hash sama (tabrakan/collision) jauh lebih mudah daripada mencari input yang cocok dengan satu hash tertentu. Karena itu hash yang aman harus punya panjang yang cukup besar.
- Basis data dan ID acak. Kalau kamu membuat ID acak, tabrakan bisa muncul lebih cepat dari perkiraan.
- Statistik. Contoh bagus bahwa intuisi manusia buruk soal peluang dan pertumbuhan non-linear.
Catatan
Perhitungan ini mengasumsikan 365 hari dengan peluang lahir yang sama tiap hari. Di dunia nyata kelahiran tidak merata (misalnya lebih banyak di bulan tertentu), dan itu justru sedikit menaikkan peluangnya. Jadi 23 orang tetap patokan yang aman.
Pelajaran
- Intuisi kita sering salah menilai hal yang tumbuh cepat, seperti pasangan, kombinasi, dan eksponensial.
- Sebelum menghitung, pastikan pertanyaannya benar: “ada yang cocok dengan saya” berbeda jauh dari “ada yang cocok dengan siapa pun”.
- Kadang lebih mudah menyelesaikan masalah dengan menghitung kebalikannya.